12. Short Circuit Transconductance

0. Intro

안녕하세요 오늘은 저번에 말한대로 cascode의 high impedance를 이용한 amplifier에 대해 알아보겠습니다.

 

1. Short Circuit Transconductance

우선 short circuit transconductance라는 것을 먼저 알아보겠습니다.

 

MOSFET에서 transconductance는 drain current를 gate-source 전압으로 미분해준 값이라는 것을 배웠습니다.

 

즉 gate-source전압에 대해 전류가 얼만큼 변하는지를 나타내는 지표이고 이것이 mosfet의 강함(?)을 나타낸다고 했었습니다.

 

이 컨셉을 회로에 일반화한 것이 short circuit transconductance입니다.

 

2. Analysis

그러면 이 short circuit transconductance라는 것을 어떻게 구하는지 알아보겠습니다.

그림1. Compoutation of transconductance for a circuit

우선 그림1 처럼 output을 ac ground로 short시킵니다.

(왜 GND에 short시키는지는 아래에서 제 생각을 얘기하겠습니다.)

 

이 때 short circuit transconductance, $G_{m}$은 다음과 같이 구합니다.

$$G_{m}=\frac{i_{out}}{v_{in}} \Huge|\large_{vout=0} $$

 

이것은 다시 말하자면 회로의 input voltage를 current로 바꾸는 능력을 나타냅니다.

그럼 왜 output을 ac GND에 short 시켰을까요?

 

그림1-2.

 

그림 1-2 같은 상황을 살펴보겠습니다.

박스안의 Circuit1과 2는 복잡하게 구성되어있고 서로 다른 구조라고 생각하겠습니다.

이 회로는 같은 input을 넣었을 때 전류를 많이 흘리면 능력이 좋은 회로라고 가정해보겠습니다.

 

우선 Circuit1을 살펴보면,

output에 저희가 구동할 load를 연결하겠습니다.(그게 전구일 수도 있고, 전자제품일 수도 있고 무엇이든간에 등등)

 

그리고 circuit1을 작동시키기 위해 input에 전압원을 달았다고 생각해보겠습니다.

그럼 output에 전류가 흐를겁니다. 하지만 이 전류는 load가 무엇인지에 따라 바뀔겁니다. 1A, 2A, 5A등 다양하게 바뀌겠죠?

 

circuit2도 마찬가지일겁니다. 전류가 load에 따라 다양하게 흐를 텐데요. 그럼 circuit1과 circuit2의 output에 흐르는 전류 크기만 가지고 circuit1과 circuit2를 무엇이 더 좋은지 비교할 수 있을까요?

 

아닙니다. 하지만 output에 load를 달아주는 대신 gnd에 short시키고 load의 영향이 없을 때 전류가 얼마나 흐르는지를 보면 객관적 비교가 가능하겠죠? 물론 $v_{in}$이 같다는 가정하에 그렇습니다.

 

이러한 이해를 바탕으로 short circuit transconductance를 생각해보면 이해가 수월할 것 같습니다.

 

그리고 왜 하필 ac gnd인지도 고민해봤습니다.

 

만약 circuit1이 일반적인 저항들로 구성된  회로면 earth gnd에 short시켜도 상관없지만 저희가 배우는 것은 MOSFET이기 때문에 ac gnd에 short시킨 것 같습니다.

 

아래 그림5에 만약 output 그냥 earth gnd에 short시키면 $V_{ds}=0$이라 애초에 mosfet이 제대로 작동하지 않죠

 

small signal 분석할 때 역시 ac에대한 영향을 없애기 위해 ac gnd에 연결한다고 생각했습니다.

 

위 예시는 저도 왜 short 시키는지 궁금해서 고민하다 이렇지 않을까 해서 생각해낸 주관적 의견입니다.

 

자세히 아시는분있으면 댓글 부탁드립니다.

 

참고로 원래는 mosfet의 transconductance도 원래는 output을 0으로 하고 구해야한다고 Razavi책에 쓰여습니다.

 

3. gain calculation

그럼 이렇게 구한 short circuit transconductance를 가지고 gain을 구해보겠습니다.

결론부터 말하자면 $A_{v}=-G_{m}R_{out}$입니다.

$R_{out}$은 output resistance입니다.

 

한번 증명을 해보겠습니다.

 

 

linear circuit은 노턴의 정리로 그림2와 같이 교체할 수 있습니다.

그림2.

 

이 때 노턴의 정리에 따르면 $i_{out}$은 output을 short시켰을 때 값 입니다.(그림3)

 

그림3.

그림2에서 $V_{out}=-i_{out}R_{out}$인데 이 때 $i_{out}$을 $G_{m}$식으로 바꾸어 줄 것입니다. 

 

$i_{out}$이라는 값은 output을 ground에 short시켰을 때 값이고  $G_{m}$도 역시 $v_{out}=0$일 때 구한 값이므로 치환해줘도 됩니다.

 

그러면 $v_{out}=-i_{out}R_{out}$을 $v_{out}=-G_{m}v_{in}R_{out}$이라고 할 수 있습니다.

 

그럼 여기서 $\Large\frac{v_{out}}{v_{in}}\normalsize=-G_{m}R_{out}$

 

이렇게 나옵니다.

 

 

 

 

그림4. CS AMP

그림2와 같은 Common Source AMP를 예시를 보겠습니다.

 

그림5.

그림3을 통해 $G_{m}$ 을 구해보면

$$G_{m}=\frac{i_{out}}{v_{in}}=\frac{i_{D1}}{v_{gs1}}=g_{m1}$$

임을 알 수 있습니다. (small signal만 그대로 그려보면 알 수 있습니다)

 

$R_{out}$은 저희가 CS amp챕터에서 구한 값을 구하고 그대로 대입하면 gain이 똑같은 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

4. Cascode Stage

앞에 설명이 길었습니다.

지금까지 배운것을 통해 Cascode Stage의 gain을 구해보겠습니다.

그림6. cascode stage

$R_{out}=R_{out}^{'}||R_{D}$인 것을 알고 $R_{out}^{'}$이 무엇인지 이전 챕터에서 배웠으니 저희는 $G_{m}$만 구하면 끝입니다.

(이전 챕터와 $V_{in}$의 위치가 다르긴 하지만 output impedance를 구할 때 모든 independent source는 short시키니 상관없습니다)

 

$G_{m}$도 이해만 하면 쉽게 구합니다. 그림5에서 NMOS를 직렬로 하나 더 쌓은 형태인데 그림5나 6나 전부 M1에는 똑같은 전류$g_{m1}v_{gs1}$이 흐릅니다. 그리고 이것이 $i_{out}$입니다.

따라서 $G_{m}=g_{m1}$이 됩니다.

따라서 gain은 $g_{m1} ((r_{o1}+r_{o2}+g_{m2}r_{o1}r_{o2})||R_{D})$가 되고 근사화 하면

$g_{m1}((g_{m2}r_{o1}r_{o2})||R_{D})$가 됩니다

 

 

그림7

그림7과 같은 형태도 그림6의 $R_{D}$를 PMOS cascode의 output impedance로 바꿔주면 됩니다.

그러면 gain은 $g_{m1}((g_{m2}r_{o1}r_{o2})|| g_{m3}r_{o3}r_{o4}))$가 됩니다

 

즉 이전 챕터에서 말했듯이 큰 gain이 필요할 때가 있는데 이처럼 cascode형태를 취함으로써 큰 gain을 얻게 됩니다.

 

또한 length가 길어지는 효과가 있어 single stage CS AMP일 때 보다 CLM효과가 작아지는 장점도 있습니다.